Hölder bərabərsizliyi

Bir çox hallarda qısa olaraq metrik fəzasının əvəzinə X kimi də yazırlar. Daha doğrusu, X metrik fəzası verilmişdir dedikdə X çoxluğu və bu çoxluqda verilmiş metrika başa düşülür. Tutaq ki, metrik fəzası verilmişdir. Aydındır ki, X çoxluğunun altçoxluğunda da metrikanı kimi daxil etmək olar. Onda metrik fəzasına metrik fəzasının altfəzası deyilir.

Tutaq ki, metrik fəzaları və inikası verilmişdir.

Tərif:Tutaq ki, ədədinə görə var ki, şərtini ödəyən elementi üçün şərti ödənilir. Onda f inikası nöqtəsində kəsilməz adlanır.

Tutaq ki, metrik fəzaları və inikası verilmişdir. Əgər f inikası qarşılıqlı birqiymətli və f , inikasları X çoxluğunda kəsilməz olarsa, f inikası homoemorf inikas, X və Y metrik fəzaları isə homoemorf fəzalar adlanır.

Tutaq ki, metrik fəzaları verilmişdir və və inikası biyektivdir. Əgər üçün olarsa, metrik fəzaları izometrik metrik fəzalar adlanır.

MÜHAZİRƏ 3.METRİK FƏZADA ƏTRAF ANLAYIŞI

Tutaq ki, metrik fəzası, nöqtəsi və ədədi verilmişdir.

şərtini ödəyən bütün mümkün nöqtələr çoxluğunun əmələ gətirdiyi çoxluq mərkəzi nöqtəsi olan r radiuslu qapalı kürəadlanır.

şərtini ödəyən bütün mümkün nöqtələr çoxluğuna mərkəzi nöqtəsi olan r radiuslu açıq kürədeyilir.

Mərkəzi nöqtəsi olan radiuslu açıq kürəyə nöqtəsinin ətrafı deyilir və kimi işarə olunur.

çoxluğuna nöqtəsinin deşilmiş ətrafı deyilir.

Tərif 1: Tutaq ki, çoxluğu verilmişdir. Əgər nöqtəsinin ətrafı ilə M çoxluğunun kəsişməsi boş deyilsə, nöqtəsi M çoxluğunun toxunma nöqtəsiadlanır.

Tərif 2: M çoxluğunun bütün toxunma nöqtələri çoxluğuna M çoxluğunun qapanmasıdeyilir və kimi işarə olunur.

Qeyd edək ki, çoxluğun qapanması əməliyyatı aşağıdakı xassələri ödəyir:

1)

2)

3)

4)

Tərif 3: Əgər olarsa, M çoxluğuna qapalı çoxluqdeyilir.

Tərif 4:Əgər nöqtəsinin deşilmiş ətrafı ilə M çoxluğunun kəsişməsi boş deyilsə, nöqtəsi M çoxluğunun limit nöqtəsiadlanır.

Tərif 5: Tutaq ki, və nöqtəsinin deşilmiş ətrafı var ki, bu ətraf ilə M çoxluğunun kəsişməsi boş çoxluqdur. Onda nöqtəsi M çoxluğunun izoləedilmiş nöqtəsiadlanır.

Təriflərdən aydındır ki,çoxluğun toxunma nöqtəsi ya çoxluğun limit nöqtəsidir ya da izoləedilmiş nöqtəsidir.

MÜHAZİRƏ 4.METRİK FƏZADA YIĞILMA

Tutaq ki, metrik fəzası və ardıcıllığı verilmişdir. Əgər

olarsa, nöqtəsinə ardıcıllığının limitideyilir. Metrik fəzada ardıcıllığın limitinə aşağıdakı kimi də tərif vermək olar.

Tərif 1: Tutaq ki, ədədinə görə nömrəsi var ki, üçün şərti ödənilir. Onda nöqtəsinə ardıcıllığının limitideyilir və

kimi işarə olunur.

Teorem 1: Tutaq ki, metrik fəzası və çoxluğu və nöqtəsi verilmişdir. nöqtəsinin M çoxluğunun limit nöqtəsi olması üçün zəruri və kafi şərt ardıcıllığının olmasıdır ki,

olsun.

İsbatı:(zərurilik)Tutaq ki, nöqtəsi M çoxluğunun limit nöqtəsidir. Onda limit nöqtəsinin tərifinə əsasən natural ədədi üçün

Onda natural ədədi üçün nöqtəsi götürək. Onda aydındır ki, bu qaydayla qurulan ardıcıllıq üçün olar. Axırıncı daxil olmadan aydındır ki,

(kafilik):

olduğundan tərifə əsasən ədədinə görə nömrəsi var ki, üçün olar. Digər tərəfdən olduğundan alarıq ki, nöqtəsi M çoxluğunun limit nöqtəsidir. Teorem isbat olundu.

MÜHAZİRƏ 5.TAM METRİK FƏZA

Tutaq ki, metrik fəzası və ardıcıllığı verilmişdir.

Tərif 1: Tutaq ki, ədədinə görə nömrəsi var ki, , üçün şərti ödənilir. Onda ardıcıllığına fundamental ardıcıllıq deyilir.

Teorem 1: Hər bir yığılan ardıcıllıq fundamentaldır.

Isbatı : Tutaq ki,

Onda limitin tərifinə əsasən ədədinə görə nömrəsi var ki, üçün olar. Onda metrikanın 3-cü xassəsinə əsasən(üçbucaq aksiomu) , üçün olar. Bu isə o deməkdir ki, ardıcıllığı fundamentaldır. Teorem isbat olundu.

Ümumuiyyətlə desək, bir çox fəzalarda fundamental ardıcıllıq yığılan olmaya da bilər.

Tərif 2: Tutaq ki, ( metrik fəzası verilmişdir. Əgər bu fəzadan götürülmüş istənilən fundamental ardıcıllıq yığılan olarsa, bu fəzaya tam metrik fəza deyilir.

Bəzi ədəbiyyatlarda tam metrik fəzaya dolu metrik fəza da deyilir.

Misal : parçasında təyin olunmuş kəsilməz funksiyalar sinfi

normasına görə tam metrik fəzadır. Doğrudan da istənilən fundamental ardıcıllığı götürək. Onda tərifə əsasən ədədinə görə nömrəsi var ki, və üçün

olar. Deməli, (1) şərti müntəzəm olaraq ödənilir. Aydındır ki, hər bir qeyd olunmuş ədədi ardıcıllığı fundamentaldır. Onda ədədi ardıcıllıqlar üçün məlum olan Koşi meyarına əsasən, hər bir qeyd olunmuş ardıcıllığı yığılan olar.

işarə edək. (1) şərtində olduqda limitə keçsək, alarıq ki, ədədinə görə nömrəsi var ki, və üçün olar. Bu isə o deməkdir ki, funksional ardıcıllığı x(t) funksiyasına müntəzəm yığılır. Onda olduğundan olar. Deməli, -də hər bir fundamental ardıcıllıq yığılandır. Bu isə o deməkdir ki, tam metrik fəzadır.

MÜHAZİRƏ 6.NORMALLAŞMIŞ FƏZA

Tutaq ki, L xətti fəzası verilmişdir və L fəzasında həqiqi ədədlər çoxluğuna təsir edən funksiyası(funksionalı) aşağıdakı şərtləri ödəyir:

1) üçün

2)

3) Onda p funksionalı L fəzasında norma adlanır. Norma daxil edilmiş fəzaya normallaşmış fəza deyilir. Hər bir elementinin norması kimi işarə olunur.

Hər bir normallaşmış fəza metrik fəzadır. Doğrudan da, bunu göstərmək üçün metrikanı kimi daxil etmək kifayətdir.

Misal : ölçülü Evklid fəzasında hər bir ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> nöqtələrinin normasını

kimi daxil etmək olar. Aydındır ki, bu cür daxil olunmuş norma normanın əsas xassələrini ödəyir.

Məlumdur ki, xətti fəzanın altfəzası dedikdə toplama və ədədə vurma əməlinə görə qapalı olan altçoxluq başa düşülür.

Tutaq ki, L normallaşmış fəzası verilmişdir. Əgər çoxluğu L xətti fəzasının altfəzası və L₀ altfəzası qapalı çoxluq olarsa, L₀ çoxluğuna L
normallaşmış fəzasının altfəzası deyilir.

Qeyd edək ki, hər bir sonlu ölçülü normallaşmış fəzada xətti fəzanın istənilən altfəzası qapalı çoxluq olur. Lakin sonsuz ölçülü fəzada bu doğru olmaya da bilər. Məs: fəzasında normanı

kimi daxil edək və parçasında təyin olunmuş bütün çoxhədlilər çoxluğunu ilə işarə edək. Aydındır ki, xəti fəzasının altfəzasıdır. Lakin normallaşmış fəza kimi -in altfəzası deyil, çünki, -in qapanması -dən daha geniş olan çoxluğuna bərabərdir, yəni, qapalı çoxluq deyil.

Tam normallaşmış fəzaya Banax fəzası və ya B fəzası deyilir.

MÜHAZİRƏ 7.EVKLİD FƏZASI

Tutaq ki, L xətti fəzası verilmişdir və elementləri cütünə kimi işarə olunan yeganə həqiqi ədəd qarşı qoyan funksional aşağıdakı xassələri ödəyir:

1)

2)

3)

4)

Onda deyirlər ki, L fəzasında skalyar hasil təyin olunmuşdur.

Skalyar hasil təyin olunan xətti fəzaya Evklid fəzası deyilir. Daha doğrusu Evklid fəzası dedikdə xətti fəza və bu fəzada təyin olunmuş skalyar hasil başa düşülür.

ədədi və elementləri götürək. Aydındır ki, skalyar hasilin məlum olan xassələrinə əsasən

Əgər elementləri xətti asılı deyilsə olar. Digər tərəfdən a nəzərən kvadratik üçhədli olduğundan məlumdur ki, şərtindən alırıq ki, həqiqi kökləri yoxdur və deməli, diskriminant mənfidir:

Asanlıqla yoxlamaq olar ki, hər bir Evklid fəzası normallaşmış fəzadır, bunun üçün

Normanın bu cür daxil olunmasını (1) bərabərsizliyində nəzərə alsaq, xətti asılı olmayan elementlər üçün

olduğunu alarıq.

Aydındır ki, x və y elementləri xətti asılı olarsa, (2) bərabərsizliyi bərabərliyə çevrilər. Onda elementləri üçün

olduğunu alarıq.

(3) bərabərsizliyi Koşi-Bunyakovski bərabərsizliyi adlanır. Əgər olarsa, x və y elementlərinə ortoqonal elementlər deyilir.

MÜHAZİRƏ 8.ORTOQONAL VƏ ORTONORMAL SİSTEMLƏR.BAZİS ANLAYIŞI.

Tutaq ki, L Evklid fəzası və bu fəzadan götürülmüş elementlər sistemi verilmişdir. Əgər olduqda =0 olarsa, sistemi ortoqonal sistem adlanır. Əgər

olarsa, sistemi ortonormal sistem adlanır.

Göstərmək olar ki, ortoqonal sistem xətti asılı deyil. Doğrudan da əgər

olarsa, bu ayrılışın hər tərəfinin skalyar hasilinə baxsaq

olduğunu alarıq.

Tutaq ki, L Evklid fəzasında ortoqonal sistemi verilmişdir. Əgər sisteminin elementlərinin xətti kombinasiyaları çoxluğunun qapanması bütün L fəzasını verərsə, yəni sistemi L fəzasında sıx olarsa, bu sistemə L fəzasında ortoqonal bazis deyilir. Əgər bu zaman sistemi ortonormal olarsa, bu sistem ortonormal bazis adlanır.

Misal : Rⁿfəzasında

--------------------

ortonormal sistemi bazis təşkil edir. Doğrudan da fəzasının hər bir x elementini şəklində göstərmək mümkündür.

Əgər L Evklid fəzasında hesabi sıx çoxluq varsa, bu fəza Seperabel-Evklid fəzası adlanır. Məsələn, l₂ fəzasında

-----------------------

sistemi ortonormal bazis təşkil edir və bu bazisin elementləri hesabi sayda olduğundan l₂ fəzası Seperabel-Evklid fəzasıdır.

Teorem : Tutaq ki, L Evklid fəzasında xətti asılı olmayan elementlər sistemi verilmişdir. Onda L fəzasında elə ortonormal sistemi var ki,

1).

2). olar.

Isbatı : Verilmiş sisteminə uyğun olaraq sistemini induktiv olaraq aşağıdakı qaydada quraq:

götürək. Belə ki,

Tutaq ki, natural ədədləri üçün -ları təyin etmişik. Induktiv olaraq təyin edək. Onda

Aydındır ki,

kimi təyin edək. Göründüyü kimi, bu qayda ilə qurulan sistem ortonormaldır və qeyd olunan xassələri ödəyir. Teorem isbat olundu.

MÜHAZİRƏ 9.EVKLİD FƏZASINDA FURYE SIRASI

Tutaq ki, L Evklid fəzası və bu fəzada ortonormal sistemi verilmişdir. elementi götürək və

sırasını düzəldək, burada

(1) sırasına f elementinin Furye sırasına ayrılışı, ədədlərinə

isə, f elementinin Furye sırasının əmsalları deyilir.

Indi isə, (1) sırasının yığılan olub-olmamasını, yığılandırsa, bu sıranın cəminin f elementinə bərabər olub-olmamasını araşdıraq.

ədədlərini elə seçək ki,

sırası ilə f elementi arasındakı məsafə minimal olsun.

işarə edək. Aydındır ki,

(3) olar.

Göründüyü kimi ifadəsi minimal qiymətini olduqda alır. Deməli, (2) şəklində olan sıralardan məsafəcə f elementinə ən yaxın olan sıra f elementinin Furye sırasıdır. Bu zaman

olduğunu alarıq. (5) bərabərsizliyi istənilən n natural ədədi üçün doğru olduğundan və bu bərabərsizliyin sağ tərəfi n-dən asılı olmadığına görə

(6) bərabərsizliyi Bessel bərabərsizliyi adlanır. Bu bərabərsizlikdən aydındır ki, Furye əmsallarının kvadratından düzəldilmiş sıra yığılandır.

Tərif : Tutaq ki, L Evklid fəzasında ortonormal sistemi verilmişdir. Əgər elementi üçün

(7) ortonormal sistemi L Evklid fəzasında qapalı sistem adlanır, burada

(8) bərabərliyi Parseval bərabərliyi adlanır.

(4) bərabərliyindən aydındır ki, əgər (7) sistemi qapalı olarsa, yəni Parseval bərabərliyi ödənərsə,

olar. Bu isə o deməkdir ki, bu zaman, yəni Parseval bərabərliyi ödəndikdə f elementinin Furye sırası bu elementin özünə yığılır.

Teorem : Seperabel-Evklid fəzasında ortonormal sistemin qapalı olması üçün zəruri və kafi şərt bu sistemin tam(dolu) olmasıdır.

Isbatı : (zərurilik) Tutaq ki, sistemi L Seperabel-Evklid fəzasında qapalıdır. Onda aydındır ki, bu zaman elementinin Furye sırası f elementinin özünə yığılır. Daha doğrusu, f elementinə (7) sisteminin elementlərinin xətti kombinasiyaları ilə yaxınlaşmaq mümkündür. Bu isə o deməkdir ki, (7) sistemi dolu sistem təşkil edir.

(kafilik): Tutaq ki, (7) sistemi dolu sistemdir. Onda tərifə əsasən (7) sisteminin elementlərinin xətti kombinasiyaları vasitəsilə f elementinə yaxınlaşmaq mümkündür(yəni, aproksimasiya etmək). (7) sisteminin elementlərinin xətti kombinasiyalarından f -ə ən yaxşı aproksimasiya olunan f elementinin Furye sırasıdır. Deməli, bu zaman f elementinin Furye sırası bu elementin özünə yığılır. Bu isə o deməkdir ki, Parseval bərabərliyi ödənir və deməli, (7) sistemi qapalıdır. Teorem isbat olundu.

Biz bu mövzuda elementin ortonormal sistem üzrə Furye sırasına ayrılışını göstərdik. Indi isə elementin ortoqonal sistem üzrə Furye sırasına ayrılışını yazaq:

Tutaq ki, L Evklid fəzası və bu fəzada ortoqonal sistemi verilmişdir.

Aydındır ki, olduqda

Deməli, bu qaydayla qurulan sistemi ortonormal sistem olar.

elementi götürək və işarə edək. Onda məlumdur ki, f elementinin Furye sırasına ayrılışı

(9) sırası f elementinin ortoqonal sistem üzrə Furye sırasına ayrılışı adlanır.

MÜHAZİRƏ 10.TAM EVKLİD FƏZASI. RİSS-FİŞER TEOREMİ

Tutaq ki, L Evklid fəzası verilmişdir. Əgər bu fəza

metrikasına nəzərən tam fəza olarsa, L fəzasına tam Evklid fəzası deyilir.

Tutaq ki, L tam Seperabel-Evklid fəzası və bu fəzadan götürülmüş ortonormal sistemi verilmişdir. Aydındır ki, elementi üçün bu elementin Furye sırasına yığılan olması üçün zəruri və kafi şərt Bessel bərabərsizliyinə əsasən elementinin Furye əmsallarından düzəldilmiş

sırasının yığılan olmasıdır. Aşağıdakı teorem onu göstərir ki, bu şərt həm də kafidir.

Teorem 1:(Riss-Fişer) Tutaq ki, L tam Evklid fəzası və bu fəzadan götürülmüş ortonormal sistemi verilmişdir. Onda

şərtini ödəyən ədədləri üçün elementi var ki,

Isbatı :

Bu isə o deməkdir ki, ardıcıllığı fundamentaldır. L fəzası tam olduğundan hər bir fundamental ardıcıllıq yığılandır və deməli, ardıcıllığı yığılandır.

Aydındır ki, olduqda və Koşi-Bunyakovski bərabərsizliyinə əsasən,

olduqda (2) bərabərliyində limitə keçsək,

alarıq.

Bu bərabərlikdə olduqda limitə keçsək,

Teorem isbat olundu.

Isbatsız olaraq aşağıdakı teoremi qeyd edək

Teorem 2: Tutaq ki , L tam Seperabel Evklid fəzası və bu fəzadan götürülmüş ortonormal sistemi verilmişdir. sisteminin qapalı olması üçün zəruri və kafi şərt bu sistemin hər bir elementinə ortoqonal olan L fəzasından götürülmüş sıfır elementin olmamasıdır.

MÜHAZİRƏ 11.HİLBERT FƏZASI. HİLBERT FƏZASININ İZOMORFLUĞU

Tərif 1: Tam sonsuz ölçülü Evklid fəzası Hilbert fəzasıdır.

Biz bu mövzuda adətən Seperabel- Hilbert fəzasından danışacağıq:

Tərif 2: Tutaq ki, L və L^* Evklid fəzaları arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq var və

1)

2)

3) şərti ödənir. Onda L və fəzaları bir-birinə izomorf olan fəzalar adlanır.

Aydındır ki, sonlu ölçülü Evklid fəzaları çoxluğunda eyniölçülü olan Evklid fəzaları bir-birinə izomorfdur. Deməli, ölçülü Evklid fəzası fəzasına izomorfdur. Lakin sonsuz ölçülü Evklid fəzalarında bu fakt doğru olmaya da bilər. Məsələn, Evklid fəzaları sonsuz ölçülüdür, lakin izomorf deyillər. Çünki ən azı tam Evklid fəzasıdır, lakin, Evklid fəzası tam deyil.

Misal : fəzası Seperabel- Hilbert fəzasıdır.

Teorem : İstənilən iki Seperabel-Hilbert fəzaları bir-birinə izomorfdur.

Isbatı : Əvvəlcə göstərək ki, Seperabel-Hilbert fəzası fəzasına izomorfdur. fəzasında hər hansı ortonormal sistemi götürək. Aydındır ki, fəzasından götürülmüş elementinə qarşı bu elementin Furye əmsallarını uyğun qoymaq olar. Bessel bərabərsizliyinə əsasən,

elementi götürək. Bu zaman

Onda Riss-Fişer teoreminə əsasən, elementi var ki, ədədləri f elementinin Furye əmsalları olar. Bu qaydayla biz fəzaları arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq yaratmış olarıq:

Tutaq ki,

Burada elementinin, elementinin Furye əmsallarıdır. Onda asanlıqla göstərmək olar ki,

Deməli, istənilən Seperabel-Hilbert fəzası fəzasına izomorfdur. Buradan isə alarıq ki, istənilən iki Seperabel-Hilbert fəzası bir-birinə izomorfdur. Teorem isbat olundu.

MÜHAZİRƏ 12.XƏTTİ FUNKSİONAL ANLAYIŞI

Tutaq ki, L xətti fəzası verilmişdir. L fəzasında həqiqi ədədlər və ya kompleks ədədlər çoxluğuna təsir edən inikas funksional adlanır.

Tərif 1: Tutaq ki, L xətti fəzasında təyin olunmuş f funksionalı verilmişdir. Əgər olarsa, f funksionalına additiv funksional deyilir.

Tərif 2: Əgər nöqtəsi üçün olarsa, f funksionalına bircins funksional deyilir.

Tərif 3: Həm additiv, həm dəbircins olan funksionala xətti funksional deyilir.

Misal : fəzasından götürülmüş funksiyasına qarşı

Aydındır ki, bu funksional xəttidir. Doğrudan da

Tərif 4: Əgər elementi üçün olarsa, f funksionalına qoşma bircins funksional deyilir.

Tərif 5: Additiv və qoşma-bircins olan funksionala qoşma-xətti və ya yarımxətti funksional deyilir.

Tərif 3: Tutaq ki, xətti fəzası və bu fəzada təyin olunmuş funksionalı verilmişdir. Əgər elementləri və ədədi üçün olarsa, funksionalına qabarıq funksional deyilir.

Tərif 4:Tutaq ki, elementi və ədədi üçün şərti ödənilir. Onda p funksionalına müsbət bircins funksional deyilir.

Tərif 5: Qabarıq və müsbət bircins olan funksionala bircins qabarıq funksional deyilir.

Tutaq ki, L xətti fəzasında təyin olunmuş p bircins qabarıq funksionalı verilmişdir. Onda elementlər

Date: 2016-06-13; view: 6