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Travail pratique 14

6.2.14.1 Résolution dun système des équations linéaires, opérations avec des matrices

Objectif de travail: réception de lexpérience de la résolution de systèmes des équations linéaires, opérations avec des matrices au milieu MS Excel.

On va se rappeler les notions générales exposées en discipline Mathématique qui touchent le problème posé.

Résolution dun système des équations algébriques linéaires (SÉAL).

On a donnés un système des équations algébriques linéaires sous forme:

Ce système peut être présenté sous forme dun produit matriciel:

A*x=b

matrice des coefficients de système;

vecteur des inconnues, vecteur des parties droites.

Résolution dun système des équations algébriques linéaires posé dans ce travail pratique doit être fait par la méthode de Cramer Gabriel et matrice inverse.

Les formules principales utilisées dans ces méthodes.

Méthode de la matrice inverse

Pour chaque nombre a le nombre inverse est . Ce dernier est désigné encore comme a -1. De la manière analogue A-1estla désignation de la matrice inverse pour la matrice A.Le produitA -1 × A = E.

Eestla matrice unité.Touts les elements de cette matrice sont égaux à unité. La multiplication chaque partie de léquation x= b par A -1 de guache donne:

A-1×x= A-1×b, E×x=A-1×b,(E la matrice unité)

Autrement dit le vecteur des inconnues x est calculé par la formule:

x=A-1×b.

Méthode de Cramer

La méthode de Cramer prevoit le calcul des inconnues x1, x2,, xn selon la formule:

où D est le déterminant de la matrice A,

Di est le déterminant de la matrice formée en remplaçant iéme colonne de la matrice A par le vecteur colonne b.

Faites attention :

avant de faire les opérations avec des matrices il faut toujour sélecter préalablement la zone pour le résultat.

Pour bien assimiler le sens des méthodes mentionnées on propose examiner les problèmes suivants.

Exemple 1.

Il faut résoudre le système suivant par la méthode de la matrice inverse.

Dans ce cas la matrice de coefficients et vecteur colonne b ont la forme suivante:

, .

1 er étape.

Lentrée de la matrice A et vecteur b dans la feuille active MS Excel (fig. 6.34).

Fig. 6.34

La matrice occupe la plage des cellules B1:4, vecteur b la plage G1:G4.

2 ème étape.

Le calcul de la matrice inverse A -1.

Cette action est réalisé de la manière suivante:



sélectionner la plage de cellules B6:E9pour la matrice inverse A -1 ;

cliquer sur licône fx en passant à premier pas dassistant formule;

cliquer sur la catégorie de la boîtequi saffiche et dans la case déroulante de cette boîte cliquer sur le nom (fig.6.35) et puis sur le boutonOK de cette boîte en passant à deuxiéme pas;

cliquer sur la case (fig. 6.36). Après avoir apparu dun pointeur te texte dans cette case il faut sélecter la plage de cellules B1:4réservée pour la matrice .Cet diapason estapparu dans la case;

cliquer sur le bouton OKde cetteboîte.

Fig. 6.35

 

Fig. 6.36

Après ces actions un nombre saffiche dans la première cellule de la plage réservée pour la matrice inverse.

Pourobtenir la matrice inverse il fautappuyer la toucheF2et puisles touchesCtrl+Shift+Enteren même temps. Par suite la matrice inverse saffiche dans le diapason de cellules réservé B6:E9 (fig.6.37).

 

Fig. 6.37

Pour obtenir les valeurs des inconnues il faut multiplier la matrice inverse par le vecteur colonne b. Pour faire ça il faut:

sélectionner les cellules H6:H9pour le résultat;

cliquer sur sur licône fx en passant à premier pas dassistant formule;

cliquer sur la catégorie de la boîtequi saffiche et dans la case déroulante de cette boîte cliquer sur le nom et puis sur le boutonOK de cette boîte en passant à deuxiéme pas. Il faut tenir compte que la multiplication dune matrice A par matrice Best possiblequand le nombre de colonnes de la matrice Aest égale au nombre de lignes de la matrice B. Bien plus il faut avoir en vue que ;

sélectionner la plage B6:E9qui comprend les valeurs de la matriceA.Cette action provoque lapparition la plage de cellulesB6:E9dans premièrecase 1 (fig. 6.38);

sélectionner la plageG1:G4 qui comprend les valeurs de vecteurcolonneb.Cette action provoque lapparition la plage de cellulesG1:G4 dans la deuzièmecase 2;

cliquer sur le bouton OKde cetteboîte.

cliquer sur la catégorie de la boîtequi saffiche et dans la case déroulante de cette boîte cliquer sur le nom et puis sur le boutonOK de cette boîte en passant à deuxiéme pas.

Fig. 6.38

Premier nombre de vecteur x est apparue dans la première cellule du diapason réservé pour résultat. Pour obtenir toutes les valeurs de la vecteur x il faut appuyer la touche F2et puis les touches Ctrl+Shift+Enter en même temps. Toutes les valeurs de vecteur colonne x saffichent dans les cellules H6:H9.

Pour vérifier la corection du résultat obtenu il faut multiplier la matrice A par vecteur x. Le résultat obtenu doit correspondre au vecteur b.Cette opérationseffectue à laide de fonction (1:4;6:9)de la manière écrite audessus.

Par suite la feuille de calcul prendra la forme présentée sur la fig.6.39.

Fig. 6.39

Exemple 2.

Il faut résoudre le système des équations examiné dans lexemple 1 par la méthode de Cramer.

Avant daborder cet problème il faut faire les actions préparatoires:

faire entrer la manrice A et vecteur b dans la feuille de travail;

former quatre matrices auxiliaires en changeant successivement les colonnes de la matrice A par le vecteur colonne b;

reserver les cellules I10:I15 pour déterminants d,d1,d2,d3,d4 (fig.6.40).

Après ces actions on calcule le déterminant principal de la matrice A. Pour cela il faut:

placer le pointeur dans la cellule I10;

cliquer sur la catégorie de la boîte qui saffiche et dans la case déroulante de cette boîte cliquer sur le nom et puis sur le bouton OK;

sélectionner la plage B1:E4qui comprend les valeurs de la matriceA.Cette action provoque lapparition la plage de cellulesB1:E4dans premièrecase 1;

cliquer sur le bouton OK.

La valeur de déterminantde la matriceAsaffiche dans la cellule I10.

Pour calculer des déterminants auxiliairs il faut créer les formules dans les cellules I11, I12, I13, I14 :

I11=(B6:E9), I12=(B11:E14),

I13=(B16:E19), I14=(B21:E24)

et réaliser ces dernieres. Dans les cellules I11, I12, I13, I14 les valeurs de déterminants auxiliairs saffichent (fig.6.40).

En utilisant des formules de Cramer on calcul les valeurs des inconnues x. Avec cela on divise successivement les déterminants auxiliairs par le déterminant principal de la matrice A. Cette action peut être réalisée par la formule =I11/$I$10 créé dans la cellule K11. Pour obtenir les autre valeurs de x il faut copier cette formule dans les cellules K12, K13 et K14. De telle maniére le système des équation est résolu.

Fig. 6.40

Exemple 3.

Calculer la matrice Cpar la formule C=A2+2AB, où

.

Cette formule peut être calculée en quelques étapes. Lordre de la résolution.

faire entrer de données de départ (matrice A, B) dans la feulle de calcul (fig.6.41);

réserver les cellules B5:D7pour le produit des matricesAetB;

utiliser la fonction (B1:D3;G1:I3)par la méthode écrivée;

réserver les cellules J5:I7pour le produit des matricesA2=A*A;

utiliser la fonction(B1:D3;B1:I3)pourobtenir le résultat de calcul A2=A*A;

réserver les cellules B9:D11pour le produit 2AB;

créer la formule =2*B5:D7dans la celluleB9et la réaliser;

copier cette formule successivement dans les cellules restantes;

réserver les cellules G9:I11 pour le résultat C = A2 + 2AB;

créer la formule =G5:I7 + 2*B9:D11dans la celluleG9et la réaliser;

copier cette formule successivement dans les cellules restantes;

En outre il y a méthode plus facile de la résolution ce problème. Pour cela il faut:

réserver les cellules E14:G16(fig.6.41);

créer la formule =(B1:D3;B1:D3)+2*(B1:D3;G1:I3)dans la celluleE14et la réaliser;

copier cette formule successivement dans les cellules restantes.

Fig. 6.41

6.2.14.2. Énoncé du problème

Il faut:

1. résoudre le système déquations par la méthode de Cramer;

2. résoudre le système déquations par la méthode de matrice inverse;

3. vérifier la solution obtenue pour chaque système déquations;

4. faire les actions indiqueées avec matrices;

Variantes

 

Variante 1

1) 2)

3) 2 (A + B) (2B A),

Variante 2

1) 2)

3) 3 A - (A + 2B) B,

Variante 3

1) 2)

3) 2(AB)(A2 + B),

Variante 4

1) 2)

3) (A2 B2)(A + B),

Variante 5

1) 2)

3) (AB2)(2A+B),

Variante 6

1) 2)

3) (A B) A + 2B,

Variante 7

1) 2)

3) 2(A0,5B)+AB,

Variante 8

1) 2)

3) (A B)A + 3B,

 

Variante 9

1) 2)

3) 2A (A2 + B) B,

Variante 10

1) 2)

3) 3 (A2 B2) 2B,

Variante 11

1) 2)

3) (2AB)(3+B)2,

Variante 12

1) 2)

3) (A2B)-2(B+),

 

Variante 13

1) 2)

3) (A+B)AB(2+3),

Variante 14

1) 2)

3) A(2A+B)B(),

Variante 15

1) 2)

3) 3(A+B)(A–2),

Variante 16

2)

3)

Variante 17

1) 2)

3) 2 + 3B(B-2),

 

Variante 18

1) 2)

3)

Variante 19

1) 2)

3) 2A - B( - ) + ,

 

Variante 20

1) 2)

3) A2 - (A + B)( 3),

Variante 21

1) 2)

3)

Variante 22

Variante 23

1) 2)

3) (A - B) + 2(A + ),

Variante 24

1) 2)

Variante 25

 

Variante 26

Variante 27

Variante 28

Variante 29

 

Variante 30

 

6.2.14.4 Questions de contrôle

 

1. Quele sens de méthode de matrice inverse et de méthode de Cramer?

2. Énumerez la succession des opérations nécessaires pour calculer la matrice inverse.

3. Énumerez la succession des opérations nécessaires pour calculer un déterminant.

4. En quelle catégorie se trouve la fonction ( )?

5. Décrivez la succession des opérations qui permet de multiplier un nombre par une matrice.

 

 


Date: 2015-12-24; view: 107


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