Home Random Page


CATEGORIES:

BiologyChemistryConstructionCultureEcologyEconomyElectronicsFinanceGeographyHistoryInformaticsLawMathematicsMechanicsMedicineOtherPedagogyPhilosophyPhysicsPolicyPsychologySociologySportTourism






II. Produit scalaire de deux vecteurs

CHAPITRE I

Eléments de la théorie des déterminants

I. Déterminants du deuxième ordre

1. Calculer les déterminants:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

2. Résoudre les équations:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) .

3. Résoudre les inégalités:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

II. Déterminants du troisième ordre

1. Calculer les déterminants:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

2. Résoudre les équations:

1) ; 2) .

3. Résoudre les inégalités:

1) ; 2) .

 

4. Calculer les déterminants en utilisant les propriétés:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

5. On demande de démontrer les égalités sans développer les déterminants:

1) ; 2) .

III. Résolution et étude d’un système de deux équations du premier degré à deux inconnues et d’un système de trois équations du premier degré à trois inconnues

Trouver toutes les solutions des systèmes d’équations ci-dessous:

1) { 2) { 3) { 4) {

5) { 6) { 7) { 8) {

IV. Systèmes de deux équations homogènes du premier degré à trois inconnues

Trouver toutes les solutions des systèmes d’équations ci-dessous:

1) { 2) { 3) {

4) { 5) { 6) {

V. Déterminants du quatrième ordre

Calculer les déterminants du quatrième ordre:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Réponses

I. 1. 1) 18; 2) 10; 3) 0; 4) 0; 5) 1.

2. 1) (1; -4); 2) ( ); 3) ( ); 4) ( );

5) , où n est un nombre entier quelconque;

6) , où n est un nombre entier quelconque.

3. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

II. 1. 1) -12; 2) 29; 3) 87; 4) 0; 5) -29; 6) .

2. 1) -3; 2) (-10; 2).

3. 1) (3,5; +¥); 2) (-6; -4).

4. 1) -4; 2) 180; 3) 87; 4) 0; 5) ; 6) ;

7) ; 8) .

III. 1. (16; 7);

2. (2; 3);

3. Le système admet une infinité de solutions différentes, chacune d’entre elles peut se calculer à l’aide de la formule où les valeurs numériques de x sont choisies arbitrairement.

4. Le système n’a pas de solutions.

5. (24,5; 21,5; 10).

6. (1; 1; 1).

7. (2; 3; 4).

8. (1; 3; 5).

IV. 1. (-2t; 7t; 4t), où t est un réel arbitraire.

2. (2t; 3t; 0), où t est un réel arbitraire.

3. (0; t; 3t), où t est un réel arbitraire.

4. (0; t; 2t), où t est un réel arbitraire.

5. (2t; 5t; 4t), où t est un réel arbitraire.

6. (4t; 2t; 3t), où t est un réel arbitraire.

V. 1. 30; 2. -20; 3. 0; 4. 48.

CHAPITRE II

I. Algèbre vectorielle

1. Notion de vecteur. Projection d’un vecteur sur un axe



Formules

1.
2.
3.Si sont les angles formés par le vecteur avec les axes de coordonnées, s’appellent cosinus directeurs du vecteur et ils sont égaux à:

Problèmes

1. Calculer le module du vecteur .

2. On donne deux premières coordonnées d’un vecteur: . Calculer sa troisième coordonnée z de manière que .

3. On donne les points A(3, -1, 2) et B(-1, 2, 1). Calculer les coordonnées des vecteurs et .

4. Calculer les coordonnées du point N qui coïncide avec l’extrémité du vecteur si le point M (1, 2, -3) coïncide avec son origine.

5. Calculer les coordonnées de l’origine du vecteur si son extrémité coïncide avec le point (1, -1, 2).

6. On donne le module d’un vecteur et les angles . Calculer les projections du vecteur donnée sur les axes de coordonnées.

7. Calculer les cosinus directeurs du vecteurs .

8. Calculer les cosinus directeurs du vecteurs { }.

9. Est-ce qu’un vecteur peut former avec les axes de coordonnées les angles suivants:

1) α = 45°, b = 60°, g = 120°;

2) α = 45°, b = 135°, g = 60°;

3) α = 90°, b = 150°, g = 60° ?

10. Est-ce qu’un vecteur peut former avec deux axes de coordonnées les angles suivants:

1) α = 30°, b = 45°;

2) α = 60°, b = 60°;

3) α = 150°, b = 30° ?

Réponses

1. . 2. . 3. . 4. N (4, 1, 1). 5. (-1, 2, 3). 6. . 7. . 8. .

9. 1) Oui. 2) Non. 3) Non. 10. 1) Non. 2) Oui. 3) Non.

2. Opérations linéaires effectuées avec les vecteurs

Formules 1.
2.
3.
4.Si et sont collinéaires, alors
5.Si alors

Problèmes

  1. Etant donnés deux vecteurs et , construire les vecteurs suivants: + ; - ; - ; - - .
  2. Etant donnés deux vecteurs et , construire les vecteurs suivants: 3 , ,

2 - , - 3 .

  1. Construire le vecteur , si

1) , et ( ^ ) = ;

2) , et ( ^ ) = .

  1. Construire le vecteur , si

1) , et ( ^ ) = ;

2) , et ( ^ ) = .

  1. Construire le vecteur , si , et ( ^ ) = .
  2. Construire le vecteur si , ,
  3. Construire le vecteur si , ,
  4. Construire le vecteur si , ,
  5. A quelles conditions doivent satisfaire les vecteurs et pour que l’on dise les relations suivantes:

1) ; 2) ; 3) ?

  1. A quelles conditions doivent satisfaire les vecteurs et pour que le vecteur + divise l’angle formé par les deux premiers vecteurs en deux angles égaux ?
  2. Soient donnés les vecteurs: et . Calculer les projections sur les axes de coordonnées des vecteurs suivants:

1) + ; 2) - ; 3) 2 ; 4) ; 5) 2 + 3 ; 6) - .

  1. Vérifier que les vecteurs et sont collinéaires. Etablir celui qui est plus long que l’autre et de combien de fois et s’ils sont de même sens ou de sens opposé.
  2. Calculer pour quelles valeurs de α et b les vecteurs et sont collinéaire?
  3. Vérifier que les quatre points A (3, -1, 2), B (1, 2, -1), C (-1, 1, -3) et D (3, -5, 3) sont les sommets d’un trapèze.
  4. On donne les points A (-1, 5, -10), B (5, -7, 8), C (2, 2, -7) et D (5, -4, 2). Vérifier que les vecteurs et dire celui qui est le plus long, de combien de fois et s’ils sont de même sens ou de sens opposé.
  5. Trouver le vecteur unitaire du vecteur .
  6. Trouver le vecteur unitaire du vecteur .
  7. Calculer les modules de la somme et de la différence des vecteurs et .
  8. Calculer les modules de la somme et de la différence des vecteurs et .

Réponses

9. 1) Les vecteurs et doivent être perpendiculaires.

2) L’angle formé par les vecteurs et doit être aigu.

3) L’angle formé par les vecteurs et doit être obtus.

10. .

11. 1) { 1, -1, 6 }; 2) { 5, -3, 6 }; 3) { 6, -4, 12 }; 4) { 1, - , 0 }; 5) { 0, -1, 12 }; 6) { 3, - , 2 }.

12. Le vecteur est trois fois plus long que le vecteur ; ils sont orientés en sens contraires.

13. 4; -1.

14. Le vecteur est deux fois plus que le vecteur ; ils sont de même sens.

16. { }. 17. { }. 18. 6; 14. 19. .

 

II. Produit scalaire de deux vecteurs

Formules

1.
2.
3.
4.
5.
6. ;
7. est une conditionnécessaire et suffisante pour que deux vecteurs soient perpendiculaires.

Problèmes

  1. Les vecteurs et forment un angle . Si l’on sait que , , calculer

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) (3 - 2 )( +2 ); 6) ( - )2; 7) (3 +2 )2.

  1. Les vecteurs et sont perpendiculaires. Le vecteur forme avec eux les angles égaux à . Si l’on sait que , calculer:

1) (3 - 2 )( +3 ); 2) ( + + )2; 3) ( +2 - 3 )2.

  1. On donne . Déterminer la valeur de pour laquelle les vecteurs et sont perpendiculaires.
  2. On donne les vecteurs et . Calculer:

1) ; 2) ; 3) ; 4) (2 - 3 )( +2 ); 5) ( + )2;

6) ( - )2.

  1. Calculer le travail accompli par la force lorsque son point d’application se déplace de l’origine à l’extrémité du vecteur .
  2. On donne les points . Calculer:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) .

  1. Calculer le travail accompli par la force lorsque son point d’application en se déplaçant suivant une trajectoire rectiligne, en passant du point au point .
  2. On donne trois forces: , et appliquées en un même point. Calculer le travail effectué par la résultante de ces trois forces si le point concidéré se déplace suivant une trajectoire rectiligne, en passant du point au point .
  3. On donne les sommets d’un quadrilatère. Démontrer que ses diagonales AC et BD sont perpendiculaires.
  4. Déterminer la valeur de α pour laquelle les vecteurs et sont perpendiculaires.
  5. Calculer le cosinus formé par les vecteurs et .
  6. On donne un triangle de sommets . Déterminer l’angle interieur au sommet B.
  7. On donne un triangle de sommets . Déterminer l’angle interieur au sommet A.
  8. Calculer la projection du vecteur sur le support du vecteur .

15. On donne trois vecteurs: . Calculer .

  1. On donne trois vecteurs: . Calculer . .
  2. On donne trois vecteurs: . Calculer .
  3. On donne les points: . Calculer .

Réponses

1. 1) -6; 2) 9; 3) 16; 4) 13; 5) -61; 6) 37; 7) 73.

2. 1) -62; 2) 162; 3) 373.

3. .

4. 1) 22; 2) 6; 3) 7; 4) -200; 5) 129; 6) 41.

5. 17.

6. 1) -524; 2) 13; 3) ; 4) {-70, 70, -350} et {-78, 104, -312}.

7. 31.

8. 13.

10. .

11. .

12. 45°.

13. ( )

14. 6.

15. -4.

16. 5.

17. -11.

18. .


Date: 2016-03-03; view: 704


<== previous page | next page ==>
MY ATTITUDE TO LEARNING ENGLISH | Respuesta fisiológica del estrés
doclecture.net - lectures - 2014-2024 year. Copyright infringement or personal data (0.014 sec.)