Die Teilgebiete der Algebra

Algebra

Die Algebra ist eines der grundlegenden Teilgebiete der Mathematik, das sich mit den Eigenschaften von Rechenoperationen befasst. Im Volksmund wird Algebra häufig als das Rechnen mit Unbekannten in Gleichungen bezeichnet, also als das Rechnen mit Buchstaben. Als Begründer der Algebra gilt der Grieche Diophantus. In seinem 13 Bände umfassenden Werk Arithmetica wird die algebraische Methode, also das Rechnen mit Buchstaben, zuerst verwendet.

Die erste Darstellung der algebraischen Methode findet sich in der Arithmetica, einem Lehr-und Aufgabenbuch des Diophant von Alexandrien, deren Entstehungszeit auf das 1. Jahrhundert v.Chr., nach anderen Quellen auf das 4. Jahrhundert n.Chr. datiert wird.

Eine weitere Darstellung der Algebra ist ein mathematisches Lehrbuch des indischen Mathematikers Aryabhata aus dem 5. Jahrhundert. Ab dem 9. Jahrhundert übernahmen und verfeinerten dann Gelehrte aus dem arabischsprachigen Raum diese Methode.

Die Algebra teilt man bezüglich ihrer Entstehung in die klassische und die moderne Algebra ein. Methoden der Algebra, die bis in 19. Jahrhundert entwickelt wurden, rechnet man der klassischen Algebra zu. In ihr untersuchte man algebraische Gleichungen auf Eigenschaften ihrer Lösungen. Wichtige Aussagen im Bereich der klassischen Algebra sind der von Gauß bewiesene Fundamentalsatz der Algebra.

Im 19. Jahrhundert entwickelte Evariste Galois die nach ihm benannte Galoistheorie. Diese kann als der Beginn der modernen Algebra verstanden werden. Seit dieser Zeit entwickelte sich die Algebra von der Theorie der algebraischen Gleichungen zur Gruppen- und Ringtheorie.

Am Beispiel des großen fermatschen Satzes sieht man allerdings, dass sich die klassische und die moderne Algebra nicht klar trennen lassen. Die in der Vermutung enthaltene Fragestellung nach Lösungen der Gleichung ist eine typische Fragestellung der klassischen Algebra beziehungsweise der in dieser Zeit entstandenen Zahlentheorie. Jedoch konnte die Vermutung erst 1995 mit moderneren Methoden der algebraischen Geometrie und der algebraischen Zahlentheorie bewiesen werden.

Die Teilgebiete der Algebra

Die Inhalte und Methoden der Algebra haben sich im Laufe der Geschichte so stark erweitert, dass es schwierig geworden ist, den Begriff der Algebra in einer knappen Definition anzugeben. Im Folgenden werden einige Teilgebiete der Algebra und einige an die Algebra angrenzende, andere Teilgebiete erwähnt. Diese sind allerdings keineswegs scharf voneinander abgegrenzbar.

• Die elementare Algebra ist die Algebra im Sinne der Schulmathematik. Sie umfasst die Rechenregeln der natürlichen, ganzen, gebrochenen und reellen Zahlen, den Umgang mit Ausdrücken, die Variablen enthalten, und Wege zur Lösung einfacher algebraischer Gleichungen. Die elementare Algebra ist die grundlegende Form der Algebra. Im Gegensatz zur Arithmetik treten in der elementaren Algebra neben Zahlen und den Grundrechenarten auch Variablen auf. Im Gegensatz zur abstrakten Algebra werden in der elementaren Algebra keine algebraischen Strukturen wie Vekton;äume betrachtet.

• Die abstrakte Algebra ist eine Grundlagendisziplin der modernen Mathematik. Sie beschäftigt sich mit speziellen algebraischen Strukturen wie Gruppen, Ringen, Körpern und deren Verknüpfung. In der Geschichte der Mathematik tauchten algebraische Strukturen zuerst in anderen Teilgebieten der Mathematik auf, wurden dann axiomatisch spezifiziert und schließlich als eigenständige Gebilde in der abstrakten Algebra untersucht. Deshalb hat die abstrakte Algebra viele Verbindungen zu allen Zweigen der Mathematik. Durch den abstrakten Zugang lassen sich beispielsweise übergeordnete Symmetrien entdecken, die dann in mehreren, eigentlich ganz verschiedenen Objekten existieren. Ein moderner Ansatz ist die Kategorientheorie.

• Die lineare Algebra behandelt das Lösen linearer Gleichungssysteme, die Untersuchung von Vektorräumen und die Bestimmung von Eigenwerten. Sie ist Grundlage für die analytische Geometrie. Vektorräume und lineare Abbildungen sind ein wichtiges Hilfsmittel in vielen Bereichen der Mathematik. Außerhalb der reinen Mathematik finden sich Anwendungen in den Naturwissenschaften und in der Wirtschaftswissenschaft (z. B. in der Optimierung). Die Lineare Algebra entstand aus zwei konkreten Anforderungen heraus: einerseits dem Lösen von linearen Gleichungssystemen, andererseits der rechnerischen Beschreibung geometrischer Objekte.

• Die kommutative Algebra befasst sich mit kommutativen Ringen sowie deren Idealen, Moduln. Sie ist grundlegend für die Gebiete der Algebraischen Geometrie und der Algebraischen Zahlentheorie. Ein wichtiges Beispiel für kommutative Ringe sind Polynomringe. Als Begründer der Kommutativen Algebra kann man David Hubert nennen. Er scheint die Idealtheorie. In diesem Zusammenhang waren strukturelle Aspekte wichtiger als algorithmische. Mit der wachsenden Leistungsfähigkeit von Computeralgebrasystemen haben aber konkrete Berechnungen stark an Bedeutung innerhalb der Kommutativen Algebra gewonnen. Das Konzept der Moduln, das in Grundzügen auf Leopold Kronecker zurückgeht, verallgemeinert die Theorie der Ideale, die es als Spezialfall enthält. Diese Methoden wurden von Emmy Noether in die Kommutative Algebra eingeführt.

• Die reelle Algebra untersucht algebraische Zahlkörper, auf denen eine Anordnung definiert werden kann. Weiter werden darauf positive Polynome untersucht.

• Die Computer-Algebra beschäftigt sich mit der symbolischen Manipulation algebraischer Ausdrücke. Einen Schwerpunkt bildet das exakte Rechnen mit ganzen, rationalen und algebraischen Zahlen sowie mit Polynomen über diesen Zahlenräumen. Auf der theoretischen Seite ist diesem Teilgebiet die Suche nach effizienten Algorithmen sowie die Ermittlung der Komplexität dieser Algorithmen zuzuordnen. Auf der praktischen Seite wurde eine Vielzahl von Computeralgebrasystemen entwickelt, die die rechnergestützte Manipulation algebraischer Ausdrücke ermöglichen.

• Die universelle oder allgemeine Algebra betrachtet ganz allgemein algebraische Strukturen. Es ist wiederum ein Teilbereich der Algebra (ohne Namenszusätze), dem grundlegenden und weitläufigen Teilbereich der Mathematik, in dem generell die Eigenschaften mathematischer Objekte im Zusammenhang mit auf ihnen erklärten Verknüpfungen behandelt werden. Die allgemeine Algebra ist zu unterscheiden von der abstrakten Algebra, einem anderen Teilbereich der Algebra, in dem spezielle algebraische Strukturen in abstrakter Form beschrieben (Gruppen, Ringe usw.) und auf ihre Eigenschaften untersucht werden. Die allgemeine Algebra setzt eine Abstraktionsebene über der abstrakten Algebra an, beschreibt sämtliche algebraischen Strukturen in einheitlicher, abstrakter Form und untersucht deren Eigenschaften.

• Die algebraische Geometrie untersucht Probleme der Algebra mit Methoden der Geometrie.

• Die algebraische Zahlentheorie untersucht Fragestellungen der Zahlentheorie mit Hilfe von Methoden der Algebra.

• Die algebraische Topologie betrachtet Fragestellungen der Topologie und fuhrt sie auf einfacher lösbare Probleme der Algebra zurück.

• Die homologische Algebra ist im Gegensatz zur topologischen Algebra ein echtes Teilgebiet der Algebra. Es hat sich jedoch aus topologischer Algebra heraus entwickelt. In diesem Teilgebiet werden Methoden der algebraischen Topologie untersucht ohne sie in dem Kontext der Topologie einzubetten.

Date: 2015-12-11; view: 2332